$$\displaystyle\int \frac{1}{x(x+1)^2}\enspace dxの不定積分の解法とポイント$$

今回の質問は、熊本県立濟々黌高校、2年生男子、理系の生徒からの質問です。

$$\int \frac{1}{x(x+1)^2}\enspace dxを解くために必要な知識$$

質問の問題を解くために必要な知識は以下の2つです。

１．\(\int \frac{1}{x}\enspace dx=log|x|+C (Cは積分定数)\)について

1つ目のポイントはこの公式をきちんと知っているかどうかです。分数式の不定積分では、分母が1次の整式の場合はこの公式を利用します。下の例の様に、\(x\)の係数が1ではない場合は使い方に注意してください。

$$\int \frac{1}{3x+1}\enspace dx = \frac{1}{3}log|3x+1|$$

２．\( \frac{1}{X^2Y}= \frac{a}{X} + \frac{b}{X^2} + \frac{c}{Y} (X,Yは1次の整式)\)について

2つ目のポイントは、1の公式を使うために部分分数に分解するということです。部分分数に分解して1の公式を使いましょう。例として、\( \frac{x}{x^2+x-6}\) を部分分数に分解してみましょう。

\begin{eqnarray}
\frac{x}{x^2+x-6} &=& \frac{x}{(x-2)(x+3)} \\
&=& \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3} とおくと\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3} &=& \frac{a(x+3)+b(x-2)}{(x-2)(x+3)} \\
&=& \frac{(a+b)x+(3a-2b)}{(x-2)(x+3)} より\\
\end{eqnarray}

$$a+b=1,3a-2b=0となり\\
a= \frac{2}{5} , b= \frac{3}{5}\\
よって \frac{x}{x^2+x-6} = \frac{2}{5(x-2)} + \frac{3}{(x+3)} となる$$

$$\int \frac{1}{x(x+1)^2}\enspace dxの解法$$

\begin{eqnarray}
\frac{1}{x(x+1)^2} &=& \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{(x+1)^2}\\
&=& \frac{a(x+1)^2+bx(x+1)+cx}{x(x+1)^2}\\
&=& \frac{(a+b)x^2+(2a+b+c)x+a}{x(x+1)^2} より
\end{eqnarray}
$$a+b=0 , 2a+b+c=0 , a=1\\
したがって, a=1 , b=-1 , c=-1$$
\begin{eqnarray}
\int \frac{1}{x(x+1)^2}\enspace dx &=& \int \{\frac{1}{x}- \frac{1}{x+1} – \frac{1}{(x+1)^2}\}\\
&=& log|x|-log|x+1|+ \frac{1}{x+1} + C\\
&=& log \left|\frac{x}{x+1}\right|+ \frac{1}{x+1} + C (Cは積分定数）
\end{eqnarray}